• Логарифмы Формулы Шпаргалка
• Свойства Логарифмов С Примерами

Основные свойства логарифмов 2 февраля 2017. Материалы к уроку. Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами. Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача.

Feb 2, 2017 - Логарифмы можно складывать, вычитать и преобразовывать. Материалы к уроку; Скачать: [Скачать все формулы] Скачать все. Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи. Логарифмы: определения, свойства и примеры решения задач. Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую. Mar 1, 2016 - Формулы по математике для подготовки к ЕГЭ – шпаргалка. Сокращенное умножение Формулы по математике.

К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим. Сложение и вычитание логарифмов Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:. log a x + log a y = log a ( x y);.

log a x − log a y = log a ( x: y). Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают! Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. Взгляните на примеры — и убедитесь: Задача.

Найдите значение выражения: log 6 4 + log 6 9. Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2. Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3. Основания одинаковые, используем формулу разности: log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4. Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5. Снова основания одинаковые, поэтому имеем: log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ. Вынесение показателя степени из логарифма Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:.

log a x n = n log a x;. Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух.

Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений. Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a 0, a ≠ 1, x 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. Можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм.

Именно это чаще всего и требуется. Найдите значение выражения: log 7 49 6. Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12 Задача. Найдите значение выражения: Подпись к рисунку Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Имеем: Подпись к рисунку Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы?

До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь. Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7.

Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2. Переход к новому основанию Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях.

А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа? На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы: Пусть дан логарифм log a x. Тогда для любого числа c такого, что c 0 и c ≠ 1, верно равенство: Подпись к рисунку В частности, если положить c = x, получим: Подпись к рисунку Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. Логарифм оказывается в знаменателе. Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях.

Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств. Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию.

Рассмотрим парочку таких: Задача. Найдите значение выражения: log 5 16 log 2 25. Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5; А теперь «перевернем» второй логарифм: Подпись к рисунку Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами. Найдите значение выражения: log 9 100 lg 3. Основание и аргумент первого логарифма — точные степени.

Запишем это и избавимся от показателей: Подпись к рисунку Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию: Подпись к рисунку Основное логарифмическое тождество Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:. n = log a a n. В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма. Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Логарифмы Формулы Шпаргалка

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением. Найдите значение выражения: Подпись к рисунку Заметим, что log 25 64 = log 5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем: Подпись к рисунку Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ:) Логарифмическая единица и логарифмический ноль В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

log a a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице. log a 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю!

Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения. Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Логарифм числа b по основанию a (log a b) это показатель степени, в которую нужно возвести число (основание) a, чтобы получить число b (у отрицательных чисел логарифма нет). Обозначение логарифма: log a b. Из определения можно сделать вывод, что данные записи равносильны: log a b = x, a x = b.

Свойства Логарифмов С Примерами

Логарифм числа b по основанию a - log a b (a 0, a ≠ 1, b 0)Наиболее распространены: Десятичный логарифм - lg b (по основанию 10, а = 10). Логарифмы по основанию 'е', называющиеся натуральными - ln b (по основанию e, а = e).